Question

如图，四边形ABCD位于平面直角坐标系的第一象限，B、C在x轴上，A点函数上，且AB∥CD∥y轴，AD∥x轴，B（1，0）、C（3，0）．
（1）试判断四边形ABCD的形状；

（2）若点P是线段BD上一点PE⊥BC于E，M是PD的中点，连EM、AM．求证：AM=EM；

（3）在图（2）中，连接AE交BD于N，则下列两个结论：
①值不变；
②的值不变．其中有且仅有一个是正确的，请选择正确的结论证明并求其值．

Answer 1

解：
（1）∵AB∥CD∥y轴，AD∥x轴，
∴四边形ABCD为矩形，
当x=1时，y=AB=2，
∴AB=2，
∵BC=2，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形．

（2）证明：延长EM交CD的延长线于G，连AE、AG，
∵PE∥GC∴∠PEM=∠DGM，
又∵∠PME=∠GMD，PM=DM，
∴△PME≌△DMG，
∴EM=MG，PE=GD，
∵PE=BE，
∴BE=GD，
在Rt△ABE与Rt△ADG中，
AB=AD，BE=GD，∠ABE=∠ADG=90°，
∴Rt△ABE≌Rt△ADG，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∴∠GAE=90°，
∴AM=EG=EM．

（3）的值不变，值为1．理由如下：
在图2的AG上截取AH=AN，连DH、MH，

∵AB=AD，AN=AH，
由（2）知∠BAN=∠DAH，
∴△ABN≌△ADH，
∴BN=DH，∠ADH=∠ABN=45°，
∴∠HDM=90°，
∴HM²=HD²+MD²，
由（2）知∠NAM=∠HAM=45°，
又AN=AH，AM=AM，
∴△AMN≌△AMH，
∴MN=MH，
∴MN²=DM²+BN²，
即=1．
分析：（1）由AB∥CD∥y轴，AD∥x轴，可得：四边形ABCD为矩形，根据A点函数为y=，可得：AB=BC，从而可证：四边形ABCD为正方形；
（2）作辅助线，延长EM交CD的延长线于G，连AE、AG，由PM=DM，∠PEM=∠DGM，∠PME=∠DMG，可证：△PME≌△DMG，可得：EM=MG，PE=GD，同理，可证：△ABE≌△ADG，可得：∠GAE=90°，从而可证：AM=EG=EM；
（3）作辅助线，在图2的AG上截取AH=AN，连DH、MH，由AB=AD，AN=AH，∠BAN=∠DAH，可证：△ABN≌△ADH，BN=DH，∠ADH=∠ABN=45°，可得：∠HDM=90°，HM²=HD²+MD²，同理可证：△AMN≌△AMH，MH=MN，可得：MN²=DM²+BN²，故：=1为定值．
点评：在解题过程中要充分利用正方形的特殊性质，注意在正方形中的特殊三角形的应用，在解本题时要多次运用三角形全等的判定定理．