Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．
（1）求证：四边形EFGH为正方形；
（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．

Answer 1

（1）证明：在△ABC中，
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF=
同理FG=，GH=，HE=
在梯形ABCD中，
∵AB=DC，
∴AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE
∴四边形EFGH为菱形．
设AC与EH交于点M
在△ABD中，∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH∥BD，同理GH∥AC
又∵AC⊥BD，
∴∠BOC=90°．
∴∠EHG=∠EMC=∠BOC=90°
∴四边形EFGH为正方形．

（2）解：连接EG，在梯形ABCD中，
∵E、G分别是AB、DC的中点，
∴EG=（AD+BC）=（1+3）=2，
在Rt△HEG中，
EG²=EH²+HG²，
4=2EH²，
EH²=2，
则EH=．
即四边形EFGH的边长为．
分析：（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断．
（2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出EH²=2，也即得出了正方形EHGF的边长．
点评：此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的内角和定理得出EH=HG=GF=FE，这是本题的突破口．