Question

自变量为x的二次函数y=ax²+（6a-2）x+9a-7（a＞0）．
（1）若a=1，-4≤x≤3，求函数值y的最大值与最小值；并分别指出所对应的自变量x的值；
（2）当a变化时，该二次函数图象是否经过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由；
（3）若该二次函数图象与x轴有两个不同的交点，而且两交点的横坐标均小于-1，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）y=x²+4x+2=（x+2）²-2
因为-4≤x≤3，开口向上，对称轴x=-2
所以当x=-2时，有最小值-2，当 x=3时，有最大值23．

（2）将二次函数整理成y=a（x²+6x+9）-2x-7
令x²+6x+9=0?x=-3，将x=-3代入，则y=-1
经过验证点（-3，-1）满足函数表达式，所以该二次函数图象经过一个定点，坐标为（-3，-1）．

（3）由（2）的结论，再由开口向上，可以知道该二次函数图象必与x轴有两个交点，
将x=-1代入表达式，得到相应的函数值为4a-5，要想两交点的横坐标均小于-1，只需要4a-5＞0
所以a＞．
分析：（1）a值大于0，说明抛物线的开口向上；首先判断抛物线的对称轴是否在自变量的取值范围内，若在，那么顶点的纵坐标即为y的最小值；此时距抛物线对称轴最远点的纵坐标就是y的最大值．若不在，只需判断距抛物线对称轴的远近就能得出y的最大或最小值．可通过作图来辅助理解．
（2）将涉及a的项整理到一起，提取a后将含a的式子设为0（只有这样才能令a的值影响不到函数值），取得此时的自变量值后代入抛物线的解析式，即可判断出该抛物线是否经过某个定点．
（3）已知抛物线的开口向上、且与x轴的两个交点都在（-1，0）的左侧，那么当x=-1时，函数值一定大于0，可根据这个特点来确定a的取值范围．
点评：该题的计算过程并不复杂，难在理出解题的思路；在解题时，要注意抛物线的开口方向（关键看二次项系数）、抛物线与坐标轴的交点等关键点，在解题时，一定要辅以图形以便更好的找出便捷的解题方法．