Question

9．观察下列各式：
1=0+1
2+3+4=1+8
5+6+7+8+9=8+27
10+11+12+12+14+15+16=27+64．
你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？

Answer 1

分析 首先根据每个算式左边的加数个数分别是1、3、5、7、…，可得第n个算式左边的加数个数是2n-1个；然后根据1=（1-1）²+1，2=（2-1）²+1，5=（3-1）²+1，…，可得第n个算式左边的第一个加数是（n-1）²+1；最后根据0=0³，1=1³，8=2³，27=3³，…，判断出第n个算式右边的两个加数分别是（n-1）³、n³，据此总结出一般性的猜想，再根据等差数列的求和公式以及立方和公式证明即可．

解答 解：因为1=0+1
2+3+4=1+8
5+6+7+8+9=8+27
10+11+12+12+14+15+16=27+64
…，
所以做出的一般性的猜想为：
[（n-1）²+1]+[（n-1）²+2]+[（n-1）²+3]+[（n-1）²+4]+…+n²=（n-1）³+n³；
证明：因为[（n-1）²+1]+[（n-1）²+2]+[（n-1）²+3]+[（n-1）²+4]+…+n²
=[（n-1）²+1+n²]×（2n-1）÷2
=2（n²-n+1）×（2n-1）÷2
=（n²-n+1）×（2n-1）
=[（n-1）+n]×[（n-1）²-n（n-1）+n²]
=（n-1）³+n³
所以[（n-1）²+1]+[（n-1）²+2]+[（n-1）²+3]+[（n-1）²+4]+…+n²=（n-1）³+n³成立．

点评 （1）此题主要考查了探寻数字规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：[（n-1）²+1]+[（n-1）²+2]+[（n-1）²+3]+[（n-1）²+4]+…+n²=（n-1）³+n³．
（2）此题还考查了等差数列的求和的方法，以及立方和公式的应用，要熟练掌握．