Question

如图，Rt△AOB是一张放在平面直角坐标系中的三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点B在y轴上OB=

3

，∠BAO=30°，将Rt△AOB折叠，使OB边落在AB边上，点O与点D重合，折痕为BE．
（1）求点E和点D的坐标；
（2）求经过O、D、A三点的二次函数解析式；
（3）设直线BE与（2）中二次函数图象的对称轴交于点F，M为OF中点，N为AF中点，在x轴上是否存在点P，使△PMN的周长最小，若存在，请求出点P的坐标和最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）据题意可得∠1=

1

2

∠ABO，OB=BD=

3

，DE=OE，
∵Rt△AOB中，∠BAO=30°，
∴∠ABO=60°，OA=3，AB=2

3

，
∴∠1=30°，A（3，0），B（0，

3

）．
Rt△EOB中，∵tan∠1=

OE

OB

∴

OE

3

=

3

3

∴OE=1，∴E点坐标为（1，0）；
过点D作DG⊥OA于G，易知D是AB的中点，且A（3，0），B（0，

3

），
则OG=

1

2

OA=1.5，DG=

1

2

OB=

3

2

；
故D（1.5，

3

2

）．

（2）∵二次函数的图象经过x轴上的O、A两点，设二次函数的解析式为y=a（x-x₁）（x-x₂）；
据（1）得A点坐标为（3，0），
∴x₁=0，x₂=3，
把D点坐标（1.5，

3

2

）代入y=a（x-0）（x-3）
得a=-

2 3

9

，
∴二次函数的解析式为y=-

2 3

9

x2+

2 3

3

x．

（3）设直线BE的解析式为y=k₁x+b₁，把（0，

3

）和（1，0）分别代入y=k₁x+b₁
得：

k1=- 3 b1= 3

，
直线BE的解析式为y=-

3

x+

3

，
∵把x=1.5代入y=-

3

x+

3

得：y=-

3

2

，
F点坐标为（1.5，-

3

2

），M点坐标为（

3

4

，-

3

4

），N点坐标为（

9

4

，-

3

4

），
M点关于x轴对称的点的坐标为M'（

3

4

，

3

4

），
设直线M'N的解析式为y=k₂x+b₂，把（

3

4

，

3

4

）和（

9

4

，-

3

4

）分别代入y=k₂x+b₂
得：k2=-

3

3

，b2=

3

2

，
∴直线M'N的解析式为y=-

3

3

x+

3

2

，
把y=0代入y=-

3

3

x+

3

2

得x=

3

2

，
∴x轴上存在点P，使△PMN的周长最小，P点坐标为（

3

2

，0），PM=

( 3 2 - 3 4 )2+(0- 3 4 )2

=

3

2

，PN=

( 3 2 - 9 4 )2+(0- 3 4 )2

=

3

2

，
∴△PMN周长=

3

2

+

3

2

+

3

2

=

3

2

+