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在△ABC中
(1)如图①,∠A=60°,∠B、∠C的平分线交于点P,求∠BPC的度数.
(2)如图②,∠A=60°,∠B、∠C的三等分线交于点P(∠1=
1
3
∠ABC,∠2=
1
3
∠ACB),求∠BPC的度数.
(3)如图③,∠A=x°,∠B、∠C的n等分线(n≥3)交于点P,求∠BPC的度数.
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分析:(1)首先根据∠B、∠C的平分线交于点P与△ABC的内角和为180°,求得∠PBC+∠PCB的和,又由△PBC的内角和为180°,求得∠BPC的度数;
(2)首先根据∠B、∠C的三等分线分线交于点P,可得:
3
2
∠PBC=∠ABC,
3
2
∠PCB=∠ACB,又由△ABC的内角和为180°,求得∠PBC+∠PCB的和,又由△PBC的内角和为180°,求得∠BPC的度数;
(3)首先根据∠B、∠C的三等分线分线交于点P,可得:
n
n-1
∠PBC=∠ABC,
n
n-1
∠PCB=∠ACB,
又由△ABC的内角和为180°,求得∠PBC+∠PCB的和,又由△PBC的内角和为180°,求得∠BPC的度数.
解答:解:(1)∵∠B、∠C的平分线交于点P,
∴2∠PBC=∠ABC,2∠PCB=∠ACB,
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠A+2∠PBC+2∠PCB=180°,
∵∠A=60°,
∴∠PBC+∠PCB=60°,
∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=120°;

(2)∵∠1=
1
3
∠ABC,∠2=
1
3
∠ACB,
3
2
∠PBC=∠ABC,
3
2
∠PCB=∠ACB,
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠A+
3
2
∠PBC+
3
2
∠PCB=180°,
∵∠A=60°,
∴∠PBC+∠PCB=80°,
∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=100°;

(3)∵∠B、∠C的n等分线(n≥3)交于点P,
n
n-1
∠PBC=∠ABC,
n
n-1
∠PCB=∠ACB,
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠A+
n
n-1
∠PBC+
n
n-1
∠PCB=180°,
∵∠A=x°,
∴∠PBC+∠PCB=
n-1
n
•180°-
n-1
n
•x°,
∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180o-
n-1
n
(180o-xo)
=
1
n
180o+
n-1
n
xo
点评:此题考查了三角形内角和定理与角平分线的性质.解此题的关键是要注意数形结合思想的应用.
练习册系列答案
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在ΔABC中,AB=4如图(1)所示,DE∥BC,DE把ΔABC分成面积相等的两部分,即S=S,求AD的长.
如图(2)所示,DE∥FG∥BC,DE、FG把ΔABC分成面积相等的三部分,即S=S=S,求AD的长.
如图(3)所示,DE∥FG∥HK∥…∥BC,DE、FG、HK、…把ΔABC分成面积相等的n部分,S=S=S=…,请直接写出AD的长.

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如图(3)所示,DE∥FG∥HK∥…∥BC,DE、FG、HK、…把ΔABC分成面积相等的n部分,S=S=S=…,请直接写出AD的长.

 

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如图3, 点分别是AB、AC的(n+1)等分点,则线段B1C1 + B2C2+……+ BnCn的值是 ______.

 

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(1)如图①,∠A=60°,∠B、∠C的平分线交于点P,求∠BPC的度数.
(2)如图②,∠A=60°,∠B、∠C的三等分线交于点P(∠1=数学公式∠ABC,∠2=数学公式∠ACB),求∠BPC的度数.
(3)如图③,∠A=x°,∠B、∠C的n等分线(n≥3)交于点P,求∠BPC的度数.

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