Question

在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点O在线段AD上．

（1）如图1，连接OB、OC，求证：△BDO≌△CDO；
（2）已知⊙O与直线AB、AC都相切，切点分别为E、F，当AD=12，CD=5，OD=时，求证：⊙O与直线BC相切．

Answer 1

证明：（1）∵AB=AC，AD是BC边上的高，
∴BD=CD，∠ODB=∠ODC=90°，
在△OBD和△OCD
，
∴△BDO≌△CDO（SAS）；
（2）如图，
∵AD=12，CD=5，OD=，
∴AC===13，OA=AD-OD=12-=，
∵⊙O与直线AC相切于F，
∴OF⊥AC，
∴∠AFO=90°，
而∠OAF=∠CAD，
∴△OAF∽△CAD，
∴OF：CD=OA：AC，即OF：5=：13，
∴OF=，
∴OD=OF，
而OD⊥BC，
∴⊙O与直线BC相切．
分析：（1）根据等腰三角形的性质由AB=AC，AD是BC边上的高得到BD=CD，然后根据“SAS”可判断△BDO≌△CDO；
（2）先利用勾股定理计算出AC=13，再计算出OA=，然后根据切线的性质得OF⊥AC，易证△OAF∽△CAD，则OF：CD=OA：AC，即OF：5=：13，可计算出OF=，
于是有OD=OF，而OD⊥BC，根据切线的判定方法即可得到⊙O与直线BC相切．
点评：本题考查了圆的切线的判定与性质：经过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形相似的判定与性质．