Question

如图，AB=2AC，BD=2AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．
（1）求证：△ABD∽△CAE；
（2）如果AC=BD，AD=

3

BD，设BD=m，求BC的长．

Answer 1

分析：（1）由BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上可得出∠DBA=∠CAE，再由AB=2AC，BD=2AE即可得出结论；
（2）由AC=BD，AD=

3

BD，BD=m可知AB=2AC=2BD=2m，AD=

3

BD=

3

m，在RtABD中利用勾股定理可用m表示出AB的值，由（1）中△ABD∽△CAE可知∠E=90°，进而用m表示出AE、CE的长，再利用勾股定理即可求出BC的长．

解答：证明：（1）∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，
∴∠DBA=∠CAE，（1分）  
又∵

AB

AC

=

BD

AE

=2，（2分）
∴△ABD∽△CAE；（1分）

（2）∵AB=2AC=2BD=2m，AD=

3

BD=

3

m，
∴AD²+BD²=3m²+m²=4m²=AB²，
∴∠D=90°（2分）
∵△ABD∽△CAE，
∴∠E=∠D=90°，
∵AE=

1

2

BD=

1

2

m，EC=

1

2

AD=

3

2

m，AB=2BD=2m，
∴在Rt△BCE中，BC²=（AB+AE）²+EC²=（2m+

1

2

m）²+（

3

2

m）²=7m²，
∴BC=

7

m．（4分）

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及勾股定理，根据题意判断出△ABD∽△CAE，再根据相似三角形的对应边成比例用m表示出AE、AB、CE的长是解答此题的关键．