Question

如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．
（1）证明△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长；
（3）求△FGC的面积．

Answer 1

解：（1）在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，
∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，
又∵AG=AG，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
∵，
∴△ABG≌△AFG（HL）；

（2）∵CD=3DE
∴DE=2，CE=4，
设BG=x，则CG=6-x，GE=x+2
∵GE²=CG²+CE²
∴（x+2）²=（6-x）²+4²，
解得 x=3
∴BG=3；

（3）过C作CM⊥GF于M，
∵BG=GF=3，
∴CG=3，EC=6-2=4，
∴GE==5，
CM•GE=GC•EC，
∴CM×5=3×4，
∴CM=2.4，
∴．
分析：（1）利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；
（2）利用勾股定理得出GE²=CG²+CE²，进而求出BG即可；
（3）首先过C作CM⊥GF于M，由勾股定理以及由面积法得，CM=2.4，进而得出答案．
点评：此题主要考查了勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．