Question

已知：如图，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延长线于D，OC交AB于E．
（1）求∠D的度数；
（2）求证：AC²=AD•CE；
（3）求

BC

CD

的值．

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．等边对等角及平行线的性质可求∠D的度数；
（2）乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出．
（3）延长BO交DA的延长线于F，连接OA．通过证明△BOC∽△BFD得出

BC

CD

的值．

解答：（1）解：如图，连接OB（1分）
∵⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，
∴∠BOC=2∠BAC=90°
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=45°
∵AD∥OC，
∴∠D=∠OCB=45°（2分）

（2）证明：∵∠BAC=45°，∠D=45°，
∴∠BAC=∠D（3分）
∵AD∥OC，
∴∠ACE=∠DAC（4分）
∴△ACE∽△DAC
∴

AC

DA

=

CE

AC

∴AC²=AD•CE（5分）

（3）解：方法一：如图，延长BO交DA的延长线于F，连接OA
∵AD∥OC，
∴∠F=∠BOC=90°
∵∠ABC=15°，
∴∠OBA=∠OBC-∠ABC=30°
∵OA=OB，
∴∠FOA=∠OBA+∠OAB=60°，∠OAF=30°、
∴OF=

1

2

OA
∵AD∥OC，
∴△BOC∽△BFD
∴

BC

BD

=

BO

BF

∴

BC

CD

=

BO

OF

=

OA

OF

=2，即

BC

CD

的值为2（7分）
方法二：作OM⊥BA于M，设⊙O的半径为r，可得BM=

3

2

r，OM=

r

2

，∠MOE=30°，
ME=OM•tan30°=

3

6

r，BE=

2 3

3

r，AE=

3

3

r，所以

BC

CD

=

BE

EA

=2

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，同时考查了圆周角定理和平行线的性质，综合性较强，难度较大．