Question

（1）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN．
（2）我市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上榕树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完，那么市政园林部门原来准备了多少棵树苗？

Answer 1

（1）证明：由作法可知：AM是∠ACB的平分线，
∴∠CAM=∠MAB．
∵AB∥CD，
∴∠MAB=∠CMA，
∴∠CAN=∠CMN．
又∵CN⊥AM，
∴∠ANC=∠MNC=90°．
在△ACN和△MCN中，
∴△ACN≌△MCN（AAS）；

（2）解：设原来准备了x棵树苗，则由题意得：
5（x+21-1）=6（x-1），
解得：x=106，
答：市政园林部门原来准备了106棵树苗．
分析：（1）首先证明∠CAN=∠CMN，再根据垂直定义可得∠ANC=∠MNC=90°，然后根据AAS定理证明△ACN≌△MCN；
（2）设原来准备了x棵树苗，则由关键语句“每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完”可得路长为5（x+21-1）或6（x-1），再根据路长相等可得方程，再解方程即可．
点评：此题主要考查了一元一次方程的应用，以及全等三角形的判定，关键是掌握角平分线的做法，找出使三角形全等的条件．