Question

【问题提出】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M－N，若M－N＞0，则M＞N；若M－N＝0，则M＝N；若M－N＜0，则M＜N．

【问题解决】如图1，把边长为a＋b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小．

解：由图可知：，．

∴．

∵a≠b，∴＞0．

∴M－N＞0．∴M＞N．

【类比应用】(1)已知：多项式M ＝2a²－a＋1 ，N ＝a²－2a ．

试比较M与N的大小．

(2)已知：如图2，锐角△ABC (其中BC为a ，AC为 b，

AB为c)三边满足a ＜b ＜ c ，现将△ABC 补成长方形，

使得△ABC的两个顶点为长方形的两个端点，第三个顶点落

在长方形的这一边的对边上。

 

①这样的长方形可以画     个；

②所画的长方形中哪个周长最小？为什么？

【拓展延伸】 已知：如图，锐角△ABC (其中BC为a，AC为b，AB为c)三边满足a ＜b ＜ c ，画其BC边上的内接正方形EFGH , 使E、F两点在边BC上，G、H分别在边AC、AB上，同样还可画AC、AB边上的内接正方形，问哪条边上的内接正方形面积最大？为什么？

 

Answer 1

【答案】

1）（2）①3

②以最短边为边所画的长方形周长最小．

【解析】

试题分析：1）∵

∴

（2） ①3

②以最短边为边所画的长方形周长最小．

理由如下：设的面积为，三个长方形的周长分别为，，，易得三个长方形的面积相等，均为，，，，

则．

∵，∴，∴．

∵，∴，于是，∴，即．

同理．

所以．

拓展延伸：

边上的内接正方形面积最大．

理由：设边上的内接正方形边长为．

由∽，得，解得．

由上题得最小，且（定值）

∴此时为最大．

∴边上的内接正方形面积最大．

考点：几何面积

点评：本题难度较大，主要考查学生是否能够结合类比应用所给示例归纳规律解题。