Question

3．如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=16厘米，BC=12厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以每秒4厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）．
（1）用的代数式表示PC的长度；
（2）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

Answer 1

分析 （1）根据题意、结合图形解答；
（2）分别求出BP、CQ的长，根据全等三角形的判定定理解答；
（3）根据全等三角形的性质求出△BPD与△CQP全等时CQ的长，根据速度公式计算即可．

解答 解：（1）PC=BC-PB=12-4t；
（2）经过1秒后，△BPD与△CQP全等．
∵AB=16，点D为AB的中点，
∴BD=8，
经过1秒后，BP=CQ=4，
∵BC=12，BP=4，
∴CP=8，
∴CP=BD，
在△BPD和△CQP中，
$\left\{\begin{array}{l}{CP=BD}\\{∠C=∠B}\\{CQ=BP}\end{array}\right.$，
∴△BPD≌△CQP；
（3）点P、Q的运动速度不相等时，△BPD与△CQP全等，则CP=BP，
即t=$\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$秒，
∵AB=16，点D为AB的中点，
∴BD=8，
则CQ=8，
∴点Q的运动速度a=8÷$\frac{3}{2}$=$\frac{16}{3}$，
∴当点Q的运动速度a为$\frac{16}{3}$厘米/秒时，△BPD与△CQP全等．

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．