Question

如图，正方形ABCD的边长为2

5

，E为AB中点，MN=

5

，线段MN的两端在BC、CD上滑动，当CM=

 

时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：

分析：根据题意不难确定Rt△AED的两直角边AD=2AE．再根据相似的性质及变化，可考虑Rt△MCN的两直角边MC、NC间的关系满足是

1

2

或2倍．求得CM的长．

解答：解：如图，正方形ABCD的边长为2

5

，E为AB中点，
∴AE=

1

2

AD=

5

．
设CM的长为x．
在Rt△MNC中
∵MN=

5

，
∴NC=

5-x2

，
①当Rt△AED∽Rt△CMN时，
则

AE

CM

=

AD

CN

，
即

5

x

=

2 5

5-x2

，
解得x=1或x=-1（不合题意，舍去），
②当Rt△AED∽Rt△CNM时，
则

AE

CN

=

AD

CM

，即

5

5-x2

=

2 5

x

，
解得x=2或-2（不合题意，舍去），
综上所述，当CM=1或2时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．
故答案为：1或2．

点评：本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质．解决本题特别要考虑到①当Rt△AED∽Rt△CMN时②当Rt△AED∽Rt△CNM时这两种情况．