Question

已知，以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边AC交于点D，过点D作圆O的切线交BC边于点E．

(1)如图，求证EB=EC=ED

(2)若∠DEF=∠C，EF交DC于点F，求证：BC²=4DF?DC

Answer 1

(1)证明:连结DO

因为BC⊥OB，因为DE是圆O的切线，D是切点，

∠ODE=90°   ∴∠ODE=∠B=90°

OD=OB  OE=OE  ∴△ODE≌△OBE(HL)

      ∴BE=DE，∠DOE=∠BOE

∵OA=OD,  ∴∠A=∠ODA

∵∠DOE+∠BOE =∠A+∠ODA，

∴∠A=∠EOB   OE∥AC

∵AO=BO，∴CE=BE，即EB=EC=ED

(2)证明：∵∠CDE=∠EDF，∠DEF=∠C， 

         ∴△DEC∽△DEF，,

         DE²=DF?CD  而DE=BC，  

         ∴BC²=4DF?CD