Question

如图，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，过A、B、C三点的⊙O与CD相切于点C，交AD于点G，点E为

AG

的中点，连接CE交AG于点F．
（1）求证：CD=DF；
（2）若BC=8，⊙O的半径为5，求FG的长．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）连接OE交AG于H，连接OC，如图，根据切线的性质得OC⊥CD，则∠OCE+∠DCF=90°，根据垂径定理由点E为

AG

的中点得到OE⊥AG，则∠OEC+∠HFE=90°，由于∠HFE=∠DFC，则∠OEC+∠DFC=90°，加上∠OEC=∠OCE，则∠DCF=∠DFC，所以DC=DF；
（2）连接OA、CG，如图，根据圆周角定理由∠ABC=90°得到AC为直径，即AC=10，在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB=6，再利用圆周角定理得到∠AGC=90°，则四边形ABCG为矩形，所以AG=BC=8，CG=AB=6，根据垂径定理由OH⊥AG得到AH=GH=4，则OH=

1

2

CG=3，所以EH=OE-OH=2，然后证明△EHF∽△CGF，利用相似比可计算出FG=3．

解答：（1）证明：连接OE交AG于H，连接OC，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCE+∠DCF=90°，
∵点E为

AG

的中点，
∴OE⊥AG，
∴∠OEC+∠HFE=90°，
而∠HFE=∠DFC，
∴∠OEC+∠DFC=90°，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE，
∴∠DCF=∠DFC，
∴DC=DF；
（2）解：连接OA、CG，如图，
∵∠ABC=90°，
∴AC为直径，即AC=10，
在Rt△ABC中，BC=8，AC=10，
∴AB=6，
∵AC为直径，
∴∠AGC=90°，
∴四边形ABCG为矩形，
∴AG=BC=8，CG=AB=6，
∴OH⊥AG，
∴AH=GH=4，
∴OH=

1

2

CG=3，
∴EH=OE-OH=5-3=2，
∵EH∥CG，
∴△EHF∽△CGF，
∴

HF

FG

=

HE

CG

，即

4-FG

FG

=

2

6

，
∴FG=3．

点评：本题考查了圆的切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．