Question

（2013•丹阳市一模）如图，已知AB是⊙O的弦，点C是弦AB上任意一点（不与点A．B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD，DB．
（1）若∠OBC=38°，∠ADC=19°，求∠DOB的度数；
（2）若点C是AB的中点，⊙O的半径是4，AC=2

3

．求BD的长．

Answer 1

分析：（1）连接OA，求出∠到，∠包，即可求出∠DAB，根据圆周角定理得出∠DOB=2∠DAB，代入求出即可．
（2）根据垂径定理求出DC⊥AB，求出OC，求出DC，根据勾股定理求出BD即可．

解答：解：（1）连接OA，
∵OA=OD=OB，
∴∠DAO=∠ADC，∠OBC=∠OAB，
∵∠OBC=38°，∠ADC=19°，
∴∠DAO=19°，∠OAB=38°，
∴∠DAB=19°+38°=57°，
∴由圆周角定理得：∠DOB=2∠DAB=2×57°=114°．

（2）∵C为AB中点，OC过O，
∴DC⊥AB，BC=AC=2

3

，
∵OB=4，
∴在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC=2，
即DC=OD+OC=4+2=6，
在Rt△DCB中，由勾股定理得：BD=

DC2+CB2

=

62+(2 3 )2

=4

3

．

点评：本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，圆周角定理，勾股定理的应用，主要考查学生的推理和计算能力．