Question

我们知道，当一条直线与一个圆有两个公共点时，称这条直线与这个圆相交．类似地，我们定义：当一条直线与一个正方形有两个公共点时，称这条直线与这个正方形相交．

如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点为O(0，0)、A(1，0)、B(1，1)、C(0，1)．

(1)判断直线y＝x＋与正方形OABC是否相交，并说明理由；

(2)设d是点O到直线y＝－x＋b的距离，若直线y＝－x＋b与正方形OABC相交，求d的取值范围．

Answer 1

 (1)解：相交.                                                    

  ∵ 直线y＝x＋与线段OC交于点(0，)同时                      

  直线y＝x＋与线段CB交于点(，1)，                          

  ∴ 直线y＝x＋与正方形OABC相交.

(2)解：当直线y＝－x＋b经过点B时，

  即有 1＝－＋b，

 ∴  b＝＋1.                                  

  即 y＝－x＋1＋.                                          

 记直线y＝－x＋1＋与x、y轴的交点分别为D、E.

 则D(，0)，E(0，1＋).  

 

法1：在Rt△BAD中，tan∠BDA＝ ＝＝，

 ∴ ∠EDO＝60°， ∠OED＝30°.

 过O作OF₁⊥DE，垂足为F₁，则OF₁＝d₁. ……7分

 在Rt△OF₁E中，∵ ∠OED＝30°，

  ∴  d₁＝.                                                  

  法2：∴ DE＝(3＋).

  过O作OF₁⊥DE，垂足为F₁，则OF₁＝d₁.                         

  ∴ d₁＝×(1＋)÷(3＋)

       ＝.                                                   

  ∵  直线y＝－x＋b与直线y＝－x＋1＋平行.

  法1：当直线y＝－x＋b与正方形OABC相交时，一定与线段OB相交，且交点不与

  点O、 B重合.故直线y＝－x＋b也一定与线段OF₁相交，记交点为F，则 F不与

  点O、 F₁重合，且OF＝d.                                                                                        

  ∴  当直线y＝－x＋b与正方形相交时，   有  0＜d＜.                                              

   法2：当直线y＝－x＋b与直线y＝x(x＞0)相交时，

   有 x＝－x＋b，即x＝.

   ① 当0＜b＜1＋时，0＜x＜1， 0＜y＜1.

   此时直线y＝－x＋b与线段OB相交，且交点不与点O、 B重合.

   ② 当b＞1＋时，x＞1，

   此时直线y＝－x＋b与线段OB不相交.

   而当b≤0时，直线y＝－x＋b不经过第一象限，即与正方形OABC不相交.

   ∴  当0＜b＜1＋时，直线y＝－x＋b与正方形OABC相交.         

   此时有0＜d＜.