Question

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点F在BC延长线上，且CF=AC，AF与DC交于点E．求：
（1）CF的长度；　　
（2）∠AEC的度数．

Answer 1

（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=1，∠B=90°，
由勾股定理得：AC===，
∵CF=AC，
∴CF=．

（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠D=90°，
∴∠ACB=∠DCB=×90°=45°，∠DCF=90°，
∵AC=CF，
∴∠F=∠CAF，
∵∠F+∠CAF=∠ACB=45°，
∴∠F=×45°=22.5°，
∴∠AEC=∠F+∠DCF=22.5°+90°=112.5°．
答：∠AEC的度数是112.5°．
分析：（1）根据勾股定理求出AC，即可求出答案；
（2）求出∠ACB=45°，求出∠F=22.5°，根据三角形的外角性质得出∠AEC=∠F+∠DCF，代入求出即可．
点评：本题考查了正方形性质，三角形的外角性质和勾股定理的应用，主要考查学生灵活运用正方形性质进行推理和计算的能力，本题是一道比较好的题目，难度也不大．