Question

如图，抛物线y=﹣x²+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E．

（1）求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式；
（2）求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标；
（3）是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，4）。
y=﹣2x+4。
（2）△ODE的面积有最大值1。
点E的坐标为（1，2）。
（3）存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似。P₁，P₂理由见解析。

试题分析：（1）在抛物线解析式y=﹣x²+4中，令y=0，解方程可求得点A、点B的坐标；令x=0，可求得顶点C的坐标．已知点B、C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式。
（2）求出△ODE面积的表达式，利用二次函数的性质求出最大值，并确定点E的坐标。
（3）本问为存在型问题．因为△OAC与△OPD都是直角三角形，需要分类讨论：
①当△PDO∽△COA时，由得PD=2OD，列方程求出点P的坐标；
②当△PDO∽△AOC时，由得OD=2PD，列方程求出点P的坐标。
解：（1）在y=﹣x²+4中，当y=0时，即﹣x²+4=0，解得x=±2；
当x=0时，即y=0+4，解得y=4。
∴点A、B、C的坐标分别为A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，4）。
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，解得。
∴直线BC的解析式为y=﹣2x+4。
（2）∵点E在直线BC上，∴设点E的坐标为（x，﹣2x+4）。
∴△ODE的面积S可表示为：。
∴当x=1时，△ODE的面积有最大值1。
此时，﹣2x+4=﹣2×1+4=2，∴点E的坐标为（1，2）。
（3）存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似。理由如下：
设点P的坐标为（x，﹣x²+4），0＜x＜2．
因为△OAC与△OPD都是直角三角形，分两种情况：
①当△PDO∽△COA时，，即，
解得（不符合题意，舍去）。
当时，。
∴此时，点P的坐标为。
②当△PDO∽△AOC时，，，
解得（不符合题意，舍去）。
当时，。
∴此时，点P的坐标为。
综上所述，满足条件的点P有两个：P₁，P₂。