Question

(1)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE＋FD；

(2)如图在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？不用证明．

(3)如图在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)证明：延长EB到G，使BG＝DF，联结AG． 　　∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD， 　　∴△ABG≌△ADF． 　　∴AG＝AF，∠1＝∠2．　1分 　　∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠EAF＝∠BAD． 　　∴∠GAE＝∠EAF． 　　又AE＝AE， 　　∴△AEG≌△AEF． 　　∴EG＝EF．　2分 　　∵EG＝BE＋BG． 　　∴EF＝BE＋FD　3分 　　(2)(1)中的结论EF＝BE＋FD仍然成立．　4分 　　(3)结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE－FD．　5分 　　证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG． 　　∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°， 　　∴∠B＝∠ADF． 　　∵AB＝AD， 　　∴△ABG≌△ADF． 　　∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF． 　　∴∠BAG＋∠EAD＝∠DAF＋∠EAD 　　＝∠EAF＝∠BAD． 　　∴∠GAE＝∠EAF． 　　∵AE＝AE， 　　∴△AEG≌△AEF． 　　∴EG＝EF　6分 　　∵EG＝BE－BG 　　∴EF＝BE－FD．　7分