Question

如图，在?ABCD中，点E在AD上，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在?ABCD内部，将BG延长交DC于点F，EF平分∠DEG．
（1）求证：GF=DF；
（2）若BC=DC=4DF，四边形BEFC的周长为，求BC的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据折叠的性质可知∠A=∠BGE，由平行四边形的性质可知∠A+∠D=180°，再利用已知条件证明△EGF≌△EDF，由全等三角形的性质可得：GF=DF；
（2）若BC=DC，可证明四边形ABCD是菱形，设DF=x，再进一步证明四边形ABCD是正方形，由于在Rt△ABE中，，在Rt△DEF中，，四边形BEFC的周长=BE+EF+FC+CB==，求出x的值即可．
解答：（1）证明：∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴∠A=∠BGE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠D=180°，
又∵∠BGE+∠EGF=180°
∴∠D=∠EGF，
∵EF平分∠DEG，
∴∠DEF=∠GEF，
又∵EF=EF，
在△EGF和△EDF中，
，
∴△EGF≌△EDF，
∴GF=DF；          

（2）解：在□ABCD中，BC=DC，设DF=x，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=DC=AD=4DF=4x．
∵△ABE≌△BGE，△EGF≌△EDF，
∴BG=AB=4x，GF=DF=x，BF=5x，AE=EG=ED=2x，
又∵FC=DC-DF=3x，
∴BC²+CF²=BF²，
∴△BCF为直角三角形，∠C=90°，
∴菱形ABCD是正方形，
在Rt△ABE中，，
在Rt△DEF中，，
∴四边形BEFC的周长=BE+EF+FC+CB==，
∴x=2，BC=4．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、折叠的性质、菱形的判定和性质以及正方形的判定和性质、勾股定理的运用以及其逆定理的运用，题目的综合性很强，难度中等．