Question

如图，已知正方形ABCD与正方形EFGH的边长分别是和，它们的中心O₁，O₂都在直线l上，AD∥l，EG在直线l上，l与DC相交于点M，ME=7-2，当正方形EFGH沿直线l以每秒1个单位的速度向左平移时，正方形ABCD也绕O₁以每秒45°顺时针方向开始旋转，在运动变化过程中，它们的形状和大小都不改变．
（1）在开始运动前，O₁O₂=______；
（2）当两个正方形按照各自的运动方式同时运动3秒时，正方形ABCD停止旋转，这时AE=______，O₁O₂=______；
（3）当正方形ABCD停止旋转后，正方形EFGH继续向左平移的时间为x秒，两正方形重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数表达式．

Answer 1

解：（1）9．

（2）0，6


（3）当正方形ABCD停止运动后，正方形EFGH继续向左平移时，与正方形ABCD重叠部分的形状也是正方形．
重叠部分的面积y与x之间的函数关系应分四种情况：
①如图1，当0≤x＜4时，
∵EA=x，
∴y与x之间的函数关系式为y=．
②如图2，当4≤x＜8时，y与x之间的函数关系式为y=（2）²=8．
③如图3，当8≤x＜12时，
∵CG=12-x，
∴y与x之间的函数关系式为y==x²-12x+72．
④当x≥12时，y与x之间的函数关系式为y=0．
分析：（1）开始运动前Q₁O₂=O₁M+ME+O₂E，O₁M=AD=2，O₂E=EH=2，因此O₁O₂=9．
（2）当运动3秒后，A在直线l上，O₁A=AD=4，O₁E=7-3=4，因此O₁E=O₁A，A、E重合，即AE=0．
O₁O₂=O₁A+O₂E=4+2=6．
（3）本题要分四种情况：
①当0≤x＜4时，图1，重合的小正方形对角线AE=x，因此y=x²．
②当4≤x＜8时，图2，正方形EFGH在正方形ABCD内部，重合部分的面积就是正方形EFGH的面积．
③当8≤x＜12时，图3，参照①的解法．
④当x≥12时，此时两正方形不重合，因此y=0．
点评：本题为运动性问题，考查了正方形的性质、图形的旋转、二次函数的应用等知识．综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．