Question

如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CD⊥PB，垂足为D点．

（1）如图1，求证：△PCD∽△ABC；

（2）当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图2中画出△PCD并说明理由；

（3）如图3，若AC=AB，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．

 

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O的直径

∴∠ACB=90°

∵PD⊥CD

∴∠D=90°

∴∠D=∠ACB

∵∠A与∠P是弧BC所对的圆周角

∴∠A=∠P

∴△PCD∽△ABC………………………………………………………（4分）

（2）解：当PC是⊙O的直径时，△PCD≌△ABC．理由如下：

∵AB、PC是⊙O的半径

∴AB=PC

∴△PCD≌△ABC（AAS）

画图如下：

…………………………………………………………………………（8分）