Question

1．已知二次函数y=x²+（a+1）x+b（a，b为常数）．当x=3时，y=3；当x为任意实数时，都有y≥x．则抛物线的顶点到原点的距离为$\frac{\sqrt{221}}{4}$．

Answer 1

分析 先把x=3，y=3代入y=x²+（a+1）x+b得到b=-3a-9，则利用当x为任意实数时，都有y≥x得到x²+ax-3a-9≥0，则对于抛物线y=x²+ax-3a-9，它与x轴没有公共点或只有一个公共点，根据△的意义得△=（a+6）²≤0，所以a=-6，b=9，于是得到原抛物线解析式为y=x²-5x+9，把它配成顶点式得到顶点坐标，然后根据勾股定理计算抛物线的顶点到原点的距离．

解答 解：把x=3，y=3代入y=x²+（a+1）x+b得9+3a+3+b=3，则b=-3a-9，
∵当x为任意实数时，都有y≥x，
即x²+（a+1）x+b≥x，
∴x²+（a+1）x-3a-9≥x，即x²+ax-3a-9≥0，
∴抛物线y=x²+ax-3a-9与x轴没有公共点或只有一个公共点，
∴△=a²-4（-3a-9）=（a+6）²≤0，
∴a+6=0，解得a=-6，
∴b=9，
∴y=x²-5x+9=（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{11}{4}$，
∴顶点坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{11}{4}$），
∴抛物线的顶点到原点的距离=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}+（\frac{11}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{221}}{4}$．
故答案为$\frac{\sqrt{221}}{4}$．

点评 本题考查了二次根式的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$），对称轴直线x=-$\frac{b}{2a}$，抛物线上的点满足抛物线解析式．