Question

20．叙述三角形的中位线定理，并结合图形进行证明．
定理：
证明：

Answer 1

分析 作出图形，然后写出已知、求证，延长EF到D，使FD=EF，利用“边角边”证明△AEF和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CD，全等三角形对应角相等可得∠D=∠AEF，再求出CE=CD，根据内错角相等，两直线平行判断出AB∥CD，然后判断出四边形BCDE是平行四边形，根据平行四边形的性质可得DE∥BC，DE=BC．

解答 解：定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
已知：△ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点，
求证：EF=$\frac{1}{2}$AB，EF∥AB，
证明：如图，延长EF到D，使FD=EF，连接CD，
∵点F是AC的中点，
∴AF=CF，
在△AEF和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=FC}\\{∠AFE=∠CFD}\\{EF=FD}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CDF（SAS），
∴AE=CD，∠D=∠AEF，
∴AB∥CD，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
∴BE=CD，
∴BECD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴DE∥BC且DE=$\frac{1}{2}$BC．

点评 本题考查了三角形的中位线定理的证明，关键在于作辅助线构造成全等三角形和平行四边形，文字叙述性命题的证明思路和方法需熟练掌握．