Question

如图，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．
（1）试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．
（2）在OE所在直线上，是否存在点M，使△ABM是直角三角形？若存在，请画出直角△ABM（保留画图痕迹），并简要说明你的画法正确；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知可证△BAC≌△ABD，从而可得∠OBA=∠OAB，即△OAB为等腰三角形，又点E是AB的中点，根据三角形底边上的“三线合一”可证OE⊥AB；
（2）存在．只要△ABM是等腰直角三角形即可，故在直线OE上分别截取EM₁=AE=EM₂，则M₁、M₂即为所求．

解答：解：（1）OE⊥AB；
证明：在△BAC和△ABD中，

AC=BD ∠BAC=∠ABD AB=BA

∴△BAC≌△ABD．
∴∠OBA=∠OAB
∴OA=OB
又∵AE=BE
∴OE⊥AB；

（2）在OE所在直线上，存在满足条件的两个点M，使△ABM是直角三角形．
在直线OE上分别截取EM₁=AE=EM₂，则M₁、M₂即为所求．

点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．