Question

在平面直角坐标系中，直线y=-x+6与x轴、y轴分别交于B、C两点．
（1）直接写出B、C两点的坐标；
（2）直线y=x与直线y=-x+6交于点A，动点P从点O沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t秒（即OP=t）．过点P作PQ∥x轴交直线BC于点Q．
①若点P在线段OA上运动时（如图1），过P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，设矩形PQMN的面积为S，写出S和t之间的函数关系式，并求出S的最大值．
②若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当运动时间t为何值时，过P、Q、O三点的圆与x轴相切？

Answer 1

解：（1）令x=0，则y=6；令y=0，则x=12，
∴B（12，0），C（0，6）．

（2）①点P在y=x上，OP=t，点P坐标（t，t），点Q坐标（12-t，t）．
PQ=12-t-t=12-t，PN=t．
S=PQ•PN=-1.5t²+6t=-1.5（t²-4t+8）+12=-1.5（t-）²+12．
当时，S的最大值为12．
②若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，过P、Q、O三点的圆与x轴相切，
则圆心在y轴上，且y轴垂直平分PQ．
∴∠POC=45°，
∴∠QOC=45°．
∴，
∴．
分析：（1）令x=0以及y=0代入题中相应的函数关系式可求出B，C的坐标．
（2）已知点P在y=x上，OP=t，可求出点P，Q的坐标以及PQ的长．然后根据矩形公式求出S关于t的函数关系式化简求出S的最大值．
根据题意，点P经过A点后继续按原方向，原速度运动，则圆心在y轴上且y轴垂直平分PQ．得出∠POC=∠QOC=45°．
点评：本题考查的是一次函数的图象与应用，矩形的面积公式以及圆的有关知识，难度中上．