Question

如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．
（1）求证：四边形ADEF是平行的四边形；
（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据△ABD与△BCE是等边三角形，利用边角边定理容易得到全等条件证明△ABC≌△DBE，然后利用全等三角形对应边相等的性质得到DE=AC，又因为△ACF也是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等的性质，AC=AF，所以DE=AF，同理可证AD=EF，然后根据两组对边相等的四边形是平行四边形即可证明；
（2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以四边形ADEF是菱形，也就是平行四边形ADEF的邻边AD=AF，再根据等边三角形的三条边都相等，可得AB=AC，但当AB=BC时，△ABC与△EBC重合，四边形ADEF不存在，所以AB=AC≠BC时，四边形ADEF是菱形．

解答：（1）证明：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA=60°，
∴∠DBE=∠ABC，
在△ABC与△DBE中，

BD=BA ∠DBE=∠ABC BE=BC

，
∴△ABC≌△DBE（SAS）
∴AC=DE，
又∵△ACF是等边三角形，
∴AF=AC，
∴DE=AF，
同理可得：EF=AD，
∴四边形ADEF平行四边形；

（2）答：△ABC满足AB=AC≠BC时，四边形ADEF是菱形．理由如下：
若四边形DAFE是菱形，
则AD=AF，
∵△ABD，△ACF都是等边三角形，
∴AD=AB，AF=AC，
∴AB=AC，
但当AB=AC=BC时，△ABC是等边三角形，和△EBC就重合了，四边形ADEF不存在．
故当AB=AC≠BC时，四边形ADEF是菱形．

点评：本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定，是小综合题，但难度不大，（2）中需要注意AB=AC≠BC的条件，否则四边形ADEF不存在，这也是同学们容易忽视而导致出错的地方．