Question

如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，经过点C且与边AB相切的动圆与AC、CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是

 

．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：利用勾股定理的逆定理，由三角形的三边长可得△ABC为Rt△，根据90°的圆周角所对的弦为直径得出PQ为圆的直径，又圆与AB相切，设切点为D，可知当CD⊥AB时，根据点到直线的垂线段最短可得CD最短，此时PQ亦最小，由三角形ABC为直角三角形，根据直角三角形的三边长，利用面积法即可求出CD的长，即为PQ的最小值．

解答：解：结合题意得，AB²=AC²+BC²，
∴△ABC为RT△，即∠C=90°，可知PQ为圆的直径，
设圆与AB的切点为D，连接CD，
当CD⊥AB，即CD是圆的直径的时候，PQ长度最小，
则PQ的最小值是

3×4

5

=2.4．
故答案为：2.4．

点评：此题考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，垂线段最短以及切线的性质，解题的关键是根据题意得出PQ为圆的直径，故当CD是直径时PQ最小．