Question

19．如图1，已知点A（-1，0），点B（0，-2），AD与y轴交于点E，且E为AD的中点，双曲线y=$\frac{k}{x}$经过C，D两点且D（a，4）、C（2，b）．
（1）求a、b、k的值；
（2）如图2，线段CD能通过旋转一定角度后点C、D的对应点C′、D′还能落在y=$\frac{k}{x}$的图象上吗？如果能，写出你是如何旋转的，如果不能，请说明理由；
（3）如图3，点P在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，点Q在y轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）如图1，过点D做DP⊥y轴于点P，由△PDE≌△OAE（ASA），PD=OA，求出点D坐标，即可解决问题；
（2）能，点C、D绕点O顺时针旋转180度时，点C′、D′落在y=$\frac{4}{x}$图象上．或点C、D关于原点中心对称的点在图象上；
（3）分两种情形分别求解①当AB为边时，如图1中，若四边形ABPQ为平行四边形，则$\frac{-1+x}{2}$=0；如图2中，若四边形ABQP是平行四边形时，AP=BQ，且AP∥BQ，求点P坐标，即可解决问题；②如图3中，当AB为对角线时，AP=BQ，AP∥BQ，求出点P坐标，即可解决问题．

解答 解：（1）如图1，过点D做DP⊥y轴于点P，

∵点E为AD的中点，
∴AE=DE．
又∵DP⊥y轴，∠AOE=90°，
∴∠DPE=∠AEO．
∵在△PDE与△OAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPE=∠AOE}\\{PE=OE}\\{∠PED=∠OEA}\end{array}\right.$，
∴△PDE≌△OAE（ASA），
∴PD=OA，
∵A（-1，0），
∴PD=1，
∴D（1，4）．
∵点D在反比例函数图象上，
∴k=xy=1×4=4．
∵点C在反比例函数图象上，C的坐标为（2，b），
∴b=$\frac{4}{2}$=2，
∴a=1，k=4，b=2；

（2）能，点C、D绕点O顺时针旋转180度时，点C′、D′落在y=$\frac{4}{x}$图象上．或点C、D关于原点中心对称的点在图象上；

（3）∵由（1）可知k=4，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$，
∵点P在y=$\frac{4}{x}$上，点Q在y轴上，
∴设Q（0，y），P（x，$\frac{4}{x}$）．
①当AB为边时，如图1中，若四边形ABPQ为平行四边形，则$\frac{-1+x}{2}$=0，

解得x=1，此时P₁（1，4），Q₁（0，6）．
如图2中，若四边形ABQP是平行四边形时，AP=BQ，且AP∥BQ，

此时P₂（-1，-4），Q₂（0，-6）．

②如图3中，当AB为对角线时，AP=BQ，AP∥BQ，

此时P₃（-1，-4），Q₃（0，2），
综上所述，满足条件的P、Q坐标分别为P₁（1，4），Q₁（0，6）；P₂（-1，-4），Q₂（0，-6）；P₃（-1，-4），Q₃（0，2）．

点评 本题考查反比例函数综合题、全等三角形的判定和性质、待定系数法、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．