Question

如图，四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若设∠A=α，∠D=β；
（1）如图①，α+β＞180°，试用α，β表示∠F；
（2）如图②，α+β＜180°，请在图中画出∠F，并试用α，β表示∠F；
（3）一定存在∠F吗？如有，求出∠F的值，如不一定，指出α，β满足什么条件时，不存在∠F．

Answer 1

解：（1）∵∠ABC+∠DCB=360°-（α+β），
∴∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（α+β）=2∠FBC+（180°-2∠DCF）=180°-2（∠DCF-∠FBC）=180°-2∠F，
∴360°-（α+β）=180°-2∠F，
2∠F=α+β-180°，
∴∠F=（α+β）-90°；

（2）∵∠ABC+∠DCB=360°-（α+β），
∴∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（α+β）=2∠GBC+（180°-2∠HCE）=180°+2（∠GBC-∠HCE）=180°+2∠F，
∴360°-（α+β）=180°+2∠F，
∠F=90°-（α+β）；

（3）α+β=180°时，不存在∠F．
分析：（1）先根据四边形内角和等于360°，得出∠ABC+∠DCB=360°-（α+β），根据内角与外角的关系和角平分线的定义得出∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（α+β）=2∠FBC+（180°-2∠DCF）=180°-2（∠DCF-∠FBC）=180°-2∠F，从而得出结论；
（2）先根据四边形内角和等于360°，得出∠ABC+∠DCB=360°-（α+β），根据内角与外角的关系和角平分线的定义得出∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（α+β）=2∠GBC+（180°-2∠HCE）=180°+2（∠GBC-∠HCE）=180°+2∠F，从而得出结论；
（3）α，β满足α+β=180°时，∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线平行，可知不存在∠F．
点评：综合考查了多边形内角与外角和角平分线的定义，（1）中得出360°-（α+β）=180°-2∠F，（2）中得出360°-（α+β）=180°+2∠F是解题的关键．