Question

（1）15个席位同等地围绕着圆桌安排，席上有15个客人的名片，客人们没有注意这些名片，直到他们坐下来，才发觉没有一个人坐在自己的名片前面，证明可以转动圆桌使得至少有两个客人同时对号入座．
（2）举出一种入席顺序的例子，使这15个人中恰好有一个客人对号入座，而转动圆桌并不能使更多的客人对上号．

Answer 1

考点：抽屉原理

专题：

分析：（1）将圆桌的转动共有15种状态，其中一种状态没有人对号入座，则剩下14种状态构成14个抽屉，而共有15个事件（每个人恰好对准自己的名片记为事件），利用抽屉原理即可解答；
（2）对席位进行编号，名片也编号，标记名片和席位，根据转动情况进行推理．

解答：解：（1）一个圆桌经过转动共有15种状态（可理解为对应15个人名片分别对着客人A），其中一种状态没有人对号入座，则剩下14种状态构成14个抽屉，每个人恰好对准自己的名片记为事件，共有15个事件，因此必有两个事件在同一个抽屉里，即可以转动圆桌，使得至少有两位客人同时坐在自己的名片前．
（2）对席位编号i，相应的名片是16-i，此时恰好一个人在自己的名片前，顺时针转动圆桌24k[1≤k≤15]度，对于名片16-i而言，它将转到s的位置，且s≡i+k[mod15][1≤s≤15]，若客人坐在自己的名片前面有s=16-i，①i+k=16-i，2i+k=16； ②i+k-15=16-i，2i+k=31，可见当k为偶数时必有一个解，对应①，k为奇数时也必有一个解对应②，而k确定时，i是唯一的．于是其他的人让不能坐在自己的位置上．

点评：本题考查了抽屉原理的应用，要明确，抽屉原理表述的是一种存在性，依赖严格的逻辑推理．