练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．
    （1）求抛物线解析式；
    （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MOA的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出当m为何值时，S有最大值，这个最大值是多少？
    （3）若点Q是直线y=-x上的动点，过Q做y轴的平行线交抛物线于点P，判断有几个Q能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形的点，直接写出相应的点Q的坐标．
    分析：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，然后把点A、B、C的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解即可；
    （2）利用抛物线的解析式表示出点M的纵坐标，从而得到点M到x轴的距离，然后根据三角形面积公式表示并整理即可得解，根据抛物线的性质求出第三象限内二次函数的最值，然后即可得解；
    （3）利用直线与抛物线的解析式表示出点P、Q的坐标，然后求出PQ的长度，再根据平行四边形的对边相等列出算式，然后解关于x的一元二次方程即可得解．
    解答：解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
    ∵抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0），
    ∴
    16a-4b+c=0
    c=-4
    4a+2b+c=0
    ，
    解得
    a=
    1
    2
    b=1
    c=-4
    ，
    ∴抛物线解析式为y=
    1
    2
    x2+x-4；

    （2）∵点M的横坐标为m，
    ∴点M的纵坐标为
    1
    2
    m2+m-4，
    又∵A（-4，0），
    ∴AO=0-（-4）=4，
    ∴S=
    1
    2
    ×4×|
    1
    2
    m2+m-4|=-（m2+2m-8）=-m2-2m+8，
    ∵S=-（m2+2m-8）=-（m+1）2+9，点M为第三象限内抛物线上一动点，
    ∴当m=-1时，S有最大值，最大值为S=9；
    故答案为：S关于m的函数关系式为S=-m2-2m+8，当m=-1时，S有最大值9；

    （3）∵点Q是直线y=-x上的动点，
    ∴设点Q的坐标为（a，-a），
    ∵点P在抛物线上，且PQ∥y轴，
    ∴点P的坐标为（a，
    1
    2
    a2+a-4），
    ∴PQ=-a-（
    1
    2
    a2+a-4）=-
    1
    2
    a2-2a+4，
    又∵OB=0-（-4）=4，
    以点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形，
    ∴|PQ|=OB，
    即|-
    1
    2
    a2-2a+4|=4，
    ①-
    1
    2
    a2-2a+4=4时，整理得，a2+4a=0，
    解得a=0（舍去）或a=-4，
    -a=4，
    所以点Q坐标为（-4，4），
    ②-
    1
    2
    a2-2a+4=-4时，整理得，a2+4a-16=0，
    解得a=-2±2
    		5
    ，
    所以点Q的坐标为（-2+2
    		5
    ，2-2
    		5
    ）或（-2-2
    		5
    ，2+2
    		5
    ），
    综上所述，Q坐标为（-4，4）或（-2+2
    		5
    ，2-2
    		5
    ）或（-2-2
    		5
    ，2+2
    		5
    ）时，使点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形．
    点评：本题是对二次函数的综合考查，有待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数的最值问题，平行四边形的对边相等的性质，平面直角坐标系中两点间的距离的表示，综合性较强，但难度不大，仔细分析便不难求解．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    28、在平面直角坐标系中，点P到x轴的距离为8，到y轴的距离为6，且点P在第二象限，则点P坐标为
    （-6，8）
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    10、在平面直角坐标系中，点P1（a，-3）与点P2（4，b）关于y轴对称，则a+b=
    -7
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系中，有A（2，3）、B（3，2）两点．
    （1）请再添加一点C，求出图象经过A、B、C三点的函数关系式．
    （2）反思第（1）小问，考虑有没有更简捷的解题策略？请说出你的理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与x轴交于A、B两点，D是抛物线的顶点，O为精英家教网坐标原点．A、B两点的横坐标分别是方程x2-4x-12=0的两根，且cos∠DAB=
    		2
    2
    ．
    （1）求抛物线的函数解析式；
    （2）作AC⊥AD，AC交抛物线于点C，求点C的坐标及直线AC的函数解析式；
    （3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在一点P，使△APC的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标和△APC的最大面积；如果不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    18、在平面直角坐标系中，把一个图形先绕着原点顺时针旋转的角度为θ，再以原点为位似中心，相似比为k得到一个新的图形，我们把这个过程记为【θ，k】变换．例如，把图中的△ABC先绕着原点O顺时针旋转的角度为90°，再以原点为位似中心，相似比为2得到一个新的图形△A1B1C1，可以把这个过程记为【90°，2】变换．
    （1）在图中画出所有符合要求的△A1B1C1；
    （2）若△OMN的顶点坐标分别为O（0，0）、M（2，4）、N（6，2），把△OMN经过【θ，k】变换后得到△O′M′N′，若点M的对应点M′的坐标为（-1，-2），则θ=
    0°（或360°的整数倍）
    ，k=
    2
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案