Question

如图，在直角坐标系中，已知A（0，3）、O（0，0）、C（6，0）、D（3，3），点P从C点出发，沿着折线C-D-A运动到达点A时停止，过C点作直线GC⊥PC，且与过O、P、C三点的⊙M交于点G，连接OP、PG、OD．设点P运动路线的长度为m．
（1）直接写出∠DCO的度数；
（2）当点P在线段CD上运动时，求△OPG的最小面积；
（3）设圆心M的纵坐标为n，试探索：在点P运动的整个过程中，n的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）过点D作DQ垂直于x轴，如图所示，由D的坐标得到DQ=OQ=3，由C的坐标得到OC=6，由OC-OQ求出CQ=3，可得出DQ=CQ，再由∠DQC为直角，得到三角形DQC为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可确定出∠DCO为45°；
（2）过P作PB垂直于x轴于点B，由∠DCO为45°，得到三角形PBC为等腰直角三角形，即PB=BC，由P运动的路程为m，得到PC=m，利用勾股定理表示出PB与BC，用OC-BC表示出OB，在直角三角形OPB中，利用勾股定理表示出OP²，根据PC与CG垂直，利用90°的圆周角所对的弦为直径得到PG为圆M的直径，再利用直径所对的圆周角为直角，得到PO与OG垂直，同时利用同弧所对的圆周角相等可得出∠PGO=∠PCO=45°，进而确定出三角形OPG为等腰直角三角形，即PO=OG，三角形POG的面积等于两直角边乘以的一半，即为OP²，将表示出的OP²代入，可得其面积为关于m的二次函数，其图象开口向上，有最小值，其对称轴为直线x=3，且当0＜m≤3时，S_△OPG随m的增大而减小，利用二次函数的性质即可求出此时S_△OPG的最小值；
（3）由OQ=CQ=DQ，DQ垂直于x轴，得到三角形DOC为等腰直角三角形，即OD=CD，过M作MN垂直于x轴，利用垂径定理得到N为OC的中点，可得出DN为OC的垂直平分线，连接OM，分两种情况考虑：（i）当P在DC边上时，如左图可知：∠OPC为钝角或直角，点M在x轴下方（或x轴上），由三角形OPM为等腰直角三角形，可得出OP=OM，表示出OM，又ON为3，利用勾股定理表示出MN²，将（2）得出的OP²代入，得到关于m的二次函数，利用m的范围即可求出n的范围；（ii）当点P在AD边上时，如右图所示，由圆的半径相等得到OM=PM，在直角三角形PDM中，由PD=m-3，DM=3-n，利用勾股定理表示出PM²，在直角三角形OMN中，由ON=3，MN=n，利用勾股定理表示出OM²，两者相等列出关于m与n的关系式，用m表示出n，根据m的范围即可求出n的范围，综上，得到满足题意的n的范围．
解答：解：（1）过D作DQ⊥x轴于点Q，如图所示：
由D（3，3），得到DQ=OQ=3，由C（6，0），得到OC=6，
∴QC=OC-OQ=6-3=3，即DQ=CQ，又∠DQC=90°，
∴△DQC为等腰直角三角形，
∴∠DCO=45°；

（2）过点P作PB⊥x轴于点B，可得△PBC为等腰直角三角形，
∵PC=m，∴PB=BC=m，
在Rt△POB中，OB=OC-BC=6-m，PB=m，
根据勾股定理得：OP²=（m）²+（6-m）²，
∵GC⊥PC，
∴PG为⊙M的直径，
∴∠POG=90°，又∠OGP=∠PCO=45°，
∴△OPG为等腰直角三角形，
∴PO=OG，
∴S_△OPG=OP•OG=OP²=[（m）²+（6-m）²]=（m-3）²+9，
∵S_△OPG是关于m的二次函数，其图象开口向上，有最小值，其对称轴为直线x=3，
∴当0＜m≤3时，S_△OPG随m的增大而减小，
则m=3时，S_△OPG取得最小值为9；

（3）由题意得：∠ODC=90°，△OPC的外心M必在OC的垂直平分线上，
作MN⊥x轴于点N，则ON=OC=3，可得直线MN经过点D，连接OM．
分两种情况考虑：
（i）当点P在CD上，即0＜m≤3时，如左图可知：∠OPC为钝角或直角，
∴点M在x轴下方（或x轴上），
又由（2）得：OM=OP，ON=3，又OP²=（m）²+（6-m）²，
在Rt△MON中，MN²=OM²-ON²=（OP）²-3²=（m-3）²+9-9=（m-3）²，
∵0＜m≤3，
∴n的取值范围是：-3＜n≤0；
（ii）当点P在AD上，即3＜m≤3+3时，如右图，依题意得：MO=PM，
由勾股定理得：ON²+MN²=DM²+PD²，
又ON=3，MN=n，DM=3-n，PD=m-3，
∴3²+n²=（3-n）²+（m-3）²，
整理得：n=（m-3）²，
∵3＜m≤3+3，
∴0＜n≤，
综上，得到n的取值范围是：-3＜n≤．
点评：此题属于圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，利用了转化及分类讨论的思想，探讨此类问题时要注意各问之间的联系，下一问要运用上一问的结论．