Question

9．阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式ax²+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）²+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax²+bx+c的配方法．
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：x²+11x+24=x²+11x+（$\frac{11}{2}$）²-（$\frac{11}{2}$）²+24
=（x+$\frac{11}{2}$）²-$\frac{25}{4}$
=（x+$\frac{11}{2}$+$\frac{5}{2}$）（x+$\frac{11}{2}$-$\frac{5}{2}$）
=（x+8）（x+3）
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用多项式的配方法将x²-6x-27化成（x+m）²+n的形式分解因式．
（2）求证：x，y取任何实数时，多项式x²+y²-4x-6y+15的值总为正数．

Answer 1

分析 （1）根据配方法配方，再运用平方差公式分解因式即可；
（2）根据配方法把x²+y²-4x-6y+15变形成（x-2）²+（y-3）²+2，再根据平方的非负性，可得答案．

解答 （1）解：x²-6x-27
=x²-6x+9-9-27
=（x-3）²-36
=（x-3+6）（x-3-6）
=（x+3）（x-9）；
（2）证明：x²+y²-4x-6y+15
=（x²-4x+4）+（y²-6y+9）+2
=（x-2）²+（y-3）²+2≥2，
故x，y取任何实数时，多项式x²+y²-4x-6y+15的值总为正数．

点评 本题考查了配方法的应用、因式分解以及平方差公式，利用完全平方公式：a²±2ab+b²=（a±b）²配方是解题关键．