Question

（1999•河南）已知正三角形的边长为a，那么它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积S=    ．

Answer 1

【答案】分析：根据题意画出图形，分别求出两圆的半径，再分别求出两圆的面积，两圆的面积之差即为内切圆与外接圆组成的圆环的面积．
解答：解：如图所示，BC=a，
连接OB、OC，过O作OD⊥BC；
∵△ABC是正三角形，
∴∠BOC==120°，
∵OB=OC，OD⊥BC，
∴∠BOD=∠BOC=×120°=60°，BD=CD=BC=，
∴OB===；
∵∠BOD=60°，
∴∠DOB=90°-60°=30°，
∴OD=×=，
∴S_大圆=π（OB）²=π（）²=，
S_小圆=π（OD）²=π（）²=，
∴S_圆环=S_大圆-S_小圆=-=．
点评：此题比较复杂，解答此题的关键是根据题意画出图形，根据正三角形的性质分别求出两圆的半径及面积即可解答．