Question

如图，直线AD：y₁=k₁x+b₁过点A（0，4），D（4，0），直线BC：y₂=k₂x+b₂过点C（-2，0），且与直线AD交于点B，且点B的横坐标为a．
（1）当a=1时，求直线BC的解析式；
（2）在（1）的条件下，请直接写出k₁x+b₁＞k₂x+b₂时，对应的x的取值范围；
（3）设△ABC的面积为S，用含a的代数式表示S，并求出当直线CB把△ACD的面积分为1：2的两部分时，对应a的值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）先求出直线AD的解析式，再求得B点的纵坐标，再代入求得直线BC的解析式；
（2）根据一次函数的增减性，并结合函数图象可以求得不等式的解集；
（3）分三种情况分别求出△ABC的面积函数关系式．

解答：解：（1）由题意得：直线AD过点A（0，4），D（4，0），
∴

4=b1 0=4k1+b

解得：

k1=-1 b1=4

．
∴直线AD的解析式为y₁=-x+4
又因为点B在AD上，且B点的横坐标为a=1，所以纵坐标为3，即B（1，3）
由题意的直线BC过点B（1，3），C（-2，0）
∴

3=k2+b2 0=-2k2+b2

解得：

k2=1 b2=2

．
∴直线BC的解析式为y₂=x+2
（2）因为直线AD与直线BC相交于点B（1，3）
由图象得：k₁x+b₁＞k₂x+b₂时x的取值范围为x＜1．
（3）△ABC的面积计算有三种形式，分别为点B在点A上方、在AD中间、在点D下方．

①点B在点A上方，即a≤0时：S_△ABC=S_△BCO+S_△BAO-S_△ACO
∴S=

1

2

×2×（-a+4）+

1

2

×4×（-a）-

1

2

×2×4=-3a
②当点B在点A和点D中间，即0＜a＜4时，：S_△ABC=S_△ACD-S_△BCD
∴S=

1

2

×6×4-

1

2

×6×（-a+4）=3a
③当点B在点D下方，即a≥4时，：S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD
∴S=

1

2

×6×4+

1

2

×6×（-（-a+4））=3a
综上所述得：S=

-3a(a≤0) 3a(0＜a＜4) 3a(a≥4)

当直线CB把△ACD的面积分为1：2两部分时，即B点在点A和点D中间时．
此时S_△ABC=3a，S_△ACD=12．
当S_△ABC：S_△ACD=1：3时，即3a：12=1：3，∴a=

4

3

；
当S_△ABC：S_△ACD=2：3时，即3a：12=2：3，∴a=

8

3

．

点评：本题是一次函数的综合应用．综合性较强，注意第（3）题分三种情况分别求出△ABC的面积函数关系式．