Question

如图，在直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，A点坐标为（10，0），B点坐标为（6，3）．动点P、Q分别从C、A两点同时出发，点P以每秒1个单位的速度由C向B运动，点Q以每秒2个单位的速度由A向O运动，当点Q停止运动时，点P也停止运动，设运动时间为t（0≤t≤5），
（1）当t为多少时，四边形PQAB是平行四边形？
（2）当t为多少时，四边形PQAB是等腰梯形？

Answer 1

解：（1）Q（10-2t，0），P（t，3）
∵BP‖AQ
∴PQAB为平行四边形时，
BP=AQ
则BP=6-t，AQ=2t
BP=AQ推出 6-t=2t
解得t=2

（2）∵BP‖AQ
∴四边形PQAB为等腰梯形时QP=AB．
如图，过点B作BD⊥OA于点D，
∵A点坐标为（10，0），B点坐标为（6，3）．
∴DA=4，BD=3，
∴在直角△ABD中，由勾股定理知AB==5
PQ=
∵AB=PQ，
∴9t²-60t+109=25
9t²-60t+84=0
3t²-20t+28=0
（3t-14）（t-2）=0
解得t₁=，t₂=2
又∵t=2时PQAB为平行四边形 （ （1）中已证 ）
所以t=，
分析：（1）当PQAB为平行四边形时，利用平行四边形的性质和Q（10-2t，0）P（t，3）推出 6-t=10-2t，从而可求出t．
（2）当PQAB为等腰梯形时，根据勾股定理求出AB=5，再利用等腰梯形的性质可得9t²-60t+109=25，解得t即可．
点评：此题主要考查等腰梯形的性质，平行四边形的性质，直角梯形的性质等知识点，涉及到的知识点较多，综合性较强，属于难题．