Question

已知∠AOB=120°，OC、OD是过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠ACO和∠DOB．
（1）如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，则∠MON______°
（2）如图②，若∠COD=40°，∠AOC≠∠DOB，则∠MON______°
（3）如图③，在∠AOB内，若∠COD=a（0°＜a＜60°），则∠MON______°
（4）将（3）中的∠COD绕着点O逆时针旋转到∠AOB的外部（0°＜∠AOC＜180°，0°＜∠BOD＜180°），求此时∠MON的度数．

Answer 1

解：（1）∵OC、OD是∠AOB的三等分线，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=×120°=40°，
∵射线OM、ON分别平分∠ACO和∠DOB，
∴∠MOC=∠AOC=20°，∠DON=∠DOB=20°，
∴∠MON=20°+40°+20°=80°；
（2）∵射线OM、ON分别平分∠ACO和∠DOB，
∴∠MOC=∠AOC，∠DON=∠DOB，
∴∠MOC+∠DON=（∠AOC+∠DOB），
∵∠AOB=120°，∠COD=40°，
∴∠AOC+∠DOB=120°-40°=80°
∴∠MOC+∠DON=40°，
∴∠MON=40°+40°=80°；
（3）∵射线OM、ON分别平分∠ACO和∠DOB，
∴∠MOC=∠AOC，∠DON=∠DOB，
∴∠MOC+∠DON=（∠AOC+∠DOB），
∵∠AOB=120°，∠COD=α，
∴∠AOC+∠DOB=120°-α，
∴∠MOC+∠DON=60°-α，
∴∠MON=60°-α+α=60°+α；
故答案为80；80；（60+α）；
（4）反向延长OA、OB得到OA′、OB′，如图，
当OD、OC在∠AOB′内部，，
设∠AOD=x，则∠AOC=α+x，
∴∠MOC=∠AOC=（α+x），∠DON=∠DOB=60°+x，

∴∠MON=∠BOC-∠COD-∠BON=120°+α+x-（x+α）-（60°-x）=60°+α；
当OD、OC在∠A′OB′内部，可计算得到∠MON=120°-α；
当OD、OC在∠A′OB内部，可计算得到∠MON=60°+α；
当OD、OC在∠A′OB′内部，可计算得到∠MON=120°-α．
分析：（1）根据角平分线的定义得到∠AOC=∠COD=∠DOB=×120°=40°，∠MOC=∠AOC=20°，∠DON=∠DOB=20°，则∠MON=20°+40°+20°=80°；
（2）根据角平分线的定义得到∠MOC=∠AOC，∠DON=∠DOB，而∠AOC+∠DOB=120°-40°=80°，则∠MOC+∠DON=40°，所以∠MON=40°+40°=80°；】
（3）与（2）一样得到∠AOC+∠DOB=120°-α，∠MOC+∠DON=60°-α，则∠MON=60°-α+α=60°+α；
（4）反向延长OA、OB得到OA′、OB′，然后分类讨论：当OD、OC在∠AOB′内部；当OD、OC在∠A′OB′内部，可计算得到∠MON=120°-α；
当OD、OC在∠A′OB内部，可计算得到∠MON=60°+α；当OD、OC在∠A′OB′内部，可计算得到∠MON=120°-α．
点评：本题考查了角度的计算：1直角为90°，1平角为180°．也考查了角平分线的性质．