Question

如图11，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=3，AD=1，BC=6，∠A=∠B=90°. 设动点P、Q、R在梯形的边上，始终构成以P为直角顶点的等腰直角三角形，且△PQR的一边与梯形ABCD的两底平行.

(1) 当点P在AB边上时，在图中画出一个符合条件的△PQR (不必说明画法)；

(2) 当点P在BC边或CD边上时，求BP的长.

 

Answer 1

 (1) 如图.(注：答案不唯一，在图中画出符合条件的图形即可)······· 2分

(2) ① 当P在CD边上时，

由题意，PR∥BC，设PR=x.

可证四边形PRBQ是正方形，∴ PR=PQ=BQ=x.

过D点作DE∥AB，交BC于E，易证四边形ABED是矩形.

∴ AD=BE=1，AB=DE=3.··············· 3分

又 PQ∥DE，∴△CPQ∽△CDE，.

∴ ，·················· 4分

∴ x=，即BP=. ·············· 5分

(注：此时，由于∠C≠45°，因此斜边RQ不可能平行于BC. 在答题中未考虑此问题者不扣分.)

② 当P在BC边上，依题意可知PQ∥BC.

过Q作QF⊥BC，易证△BRP≌△FQP，则PB=PF.····· 6分

易证四边形BFQR是矩形，

设BP=x，则BP=BR=QF=PF=x，BF=RQ=2x.········ 8分

∵ QF∥DE，∴ △CQF∽△CDE，∴ .············· 8分

∴ ，∴ x=.······················ 10分

(注：此时，直角边不可能与两底平行. 在答题中未考虑此问题者不扣分.