Question

如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是CD的中点，P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P是从A点出发，沿A→B→C→E运动．若设点P经过的路线为x，当△APE与△AED相似时，求x的值．

Answer 1

分析：要使△APE与△AED相似，说明△APE是直角三角形，所以只有当∠APE=90°时，分P在AB上和在BC上，问题就解决了．

解答：解：（1）当∠APE=∠D=90°时，且P在AB 上，
∴△AED∽△EAP，
∴

DE

AP

=

AD

PE

，
即AP=1，
∴x=1；

（2）当∠AEP=90°或∠APE=90°时，P在BC上，
∴△ADE∽△AEP，
∴

DE

AD

=

PE

AE

或

ED

AD

=

EP

AP

即PE=

5

2

，则PC=

1

2

x=2+

3

2

=

7

2

又∵AP=

22+(x-2)2

AE=

5

，
∴

AE

AP

=

AD

AE

，
∴

5

22 +(x-2)2

=

2

5

，
解得：x₁=0.5（不合题意舍去），x₂=3.5，
∴x的值为：1，

7

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质．