Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，△A′BD与△ABD关于BD所在的直线对称，A′B与DC相交于点E，连接AA′．
（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不另加字母）；
（2）求证：A′E=CE．

Answer 1

（1）解：等腰三角形有△DA′A，△A′BA，△EDB．

（2）证明：∵平行四边形ABCD，
∴∠C=∠DAB，AD=BC，
∵A′BD与△ABD关于BD所在的直线对称，
∴△A′DB≌△ADB，
∴AD=A′D，∠DA′B=∠DAB，
∴A′D=BC，∠C=∠DA′B，
在△A′DE和△CEB中
，
∴△A′DE≌△CEB，
∴A′E=CE．
分析：（1）根据对称性质求出A′D=AD，A′B=AB，推出△A′DA、△A′BA是等腰三角形，根据△A′DE≌△CEB推出DE=BE即可；
（2）根据对称图形的性质和平行四边形性质推出A′D=BC，∠C=∠DA′B，根据AAS证△A′DE≌△CEB即可．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，平行四边形性质，轴对称的性质等知识点的应用，关键是能灵活运用这些性质进行推理，题目比较典型．