Question

（2013•吉安模拟）已知△ABC中，AB=AC，点O在△ABC的内部，∠BOC=90°，OB=OC，D、E、F、G分别是AB、OB、OC、AC的中点．
（1）求证：四边形DEFG是矩形；
（2）若DE=2，EF=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）连接AO并延长交BC于H，首先四边形DEFG是平行四边形，然后证得EF⊥DE，从而证得平行四边形DEFG是矩形；
（2）根据△BOC是等腰直角三角形，求得BC和AH的长，利用三角形的面积计算公式求其面积即可．

解答：解：（1）连接AO并延长交BC于H，
∵AB=AC，OB=OC，
∴AH是BC的中垂线，即AH⊥BC于H，
∵D、E、F、G分别是AB、OB、OC、AC的中点，
∴DG∥EF∥BC，DE∥AH∥GF，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵EF∥BC，AH⊥BC，
∴AH⊥EF，DE∥AH，
∴EF⊥DE，
∴平行四边形DEFG是矩形．

（2）∵△BOC是等腰直角三角形，
∴BC=2EF=2OH=2×3=6，
AH=OA+OH=2DE+EF=2×2+3=7，
∴S_△ABC=

1

2

×6×7=21．

点评：本题考查了中点四边形及矩形的判定方法，中点四边形是中考常考的题目之一，应重点掌握．