Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，且AC，BC分别与圆O相切于点M、N，若AO=15厘米，OB=20厘米，则圆O的面积为______平方厘米．

Answer 1

连接OM，ON，如图所示：

∵AC，BC分别与圆O相切于点M、N，
∴OM⊥AC，ON⊥BC，
∴∠CMO=∠CNO=90°，又∠C=90°，
∴四边形CMON为矩形，
∴ON∥AC，
∴∠BON=∠A，又∠AMO=∠ONB=90°，
∴△AMO∽△ONB，
∴

OA

BO

=

OM

BN

，
设OM=ON=x厘米，AO=15里面，BO=20厘米，
在Rt△BON中，根据勾股定理得：BN=

OB2-ON2

=

400-x2

，
∴

15

20

=

x

400-x2

，即400x²=225（400-x²），解得：x=12，
∴圆O的半径为12厘米，
则圆O的面积为π×12²=144π（平方厘米）．
故答案为：144π