Question

在△ABC中，AB=AC，D是BC边长任意一点，点C₁是C点关于直线AD的对称点，C₁B与AD相交于P，试问：当点D在BC（BC中点除外）运动时，AD•AP的值有何变化？并证明你的结论．

Answer 1

AD•AP的值为一定值．
证明：如图，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∵点C₁是C点关于直线AD对称，
∴∠C₁=∠C=∠ABC，∠C₁AP=∠1，
∴A、C₁、B、D四点共圆，
∴∠PBC=∠C₁AP=∠1，
∴C、A、B、P四点共圆，
∴∠P=∠C=∠ABD，又∠BAP=∠DAB，
∴△ABD∽△APB，
∴=，
即AD•AP=AB²为一定值．
分析：由AB=AC以及对称性可得角相等，得出A、C₁、B、D四点共圆，进而又可得出C、A、B、P四点共圆，再由△ABD∽△APB得出对应线段成比例，进而可求解结论．
点评：本题主要考查了有关圆的四点共圆问题以及相似三角形的判定及性质，能够掌握并熟练运用．