Question

9、已知正整数p和q都是质数，且7p+q与pq+11也都是质数，试求p^q+q^p的值．

Answer 1

分析：根据质数的特征可知pq+11必为正奇质数，pq为偶数，从而确定p=2或q=2．再分情况讨论求解即可．

解答：解：pq+11＞11且pq+11是质数，
∴pq+11必为正奇质数，pq为偶数，而数p、q均为质数，故p=2或q=2．
当p=2时，有14+q与2q+11均为质数．
当q=3k+1（k≥2）时，则14+q=3（k+5）不是质数；
当q═3k+2（k∈N）时，2q+11=3（2k+5）不是质数，
因此，q=3k，且q为质数，故q=3．
当q=2时，有7p+2与2p+11均为质数．
当p═3k+1（k≥2）时，7p+2=3（7k+3）不是质数；
当p=3k+2（k∈N）时，2p+11=3（2k+5）不是质数，
因此，p=3k，当p为质数，故p=3．
故p^q+q^p=2³+3²=17．

点评：本题考查了质数的基本性质，解题的关键是确定p=2或q=2，主要分类思想的运用，有一点的难度．