Question

在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE．
（1）如图1，∠AED=______°；
（2）连接CE交直线AB于点F，直线CE交BD于点H．
①如图2所示，试说明∠DBA=∠ECA；
②设∠ABC=α，旋转的角度∠CAE=β（0°＜β＜360°），当α、β满足什么关系时，△BCF是等腰三角形．

Answer 1

解：（1）90°；
（2）①由旋转的性质可知，旋转中心为A点，B与D，C与E分别为对应点，
∴AB=AD，AC=AE，旋转角∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠DBA=∠ECA；
②如图1，BF=CF，β=2α，如图2，BC=BF，β=180°-α，
如图3，BC=CF，β=360°-4α，如图4，BC=BF，β=360°-α．
分析：（1）旋转前后，对应角相等，即∠AED=∠C=90°；
（2）①由旋转的性质证明△ABD与△ACE为等腰三角形，且顶角为旋转角∠BAD=∠CAE，可证△ABD∽△ACE，得出结论；
②△BCF是等腰三角形，有三种可能，即BF=CF，BC=BF，BC=CF，分别画出图形，根据等腰三角形的性质，内角和定理，外角定理求关系式．
点评：本题考查了旋转的性质．关键是根据旋转得到全等三角形，相等角，利用内角和定理，外角定理求角的关系．