Question

6．如图，已知△ABC中，∠B=2∠C，a，b，c为三边长．
求证：（1）BC＜2AC；
（2）BC²-AC²=AC•AB，∠A=2∠B．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的三边关系即可得到结论；
（2）延长BA到D使CD=CB=a．过C作CE⊥DB于E，则DE=BE，∠D=∠B根据勾股定理得到CB²-AC²=BE²-AE²，分解因式得到CB²-AC²=AD•AB，如何根据边角关系即可得到结论．

解答 证明：（1）∵∠B=2∠C，
∴∠B＞∠C，
∴AC＞AB，
∵AB+AC＞BC，
∴2AC＞BC；

（2）延长BA到D使CD=CB=a．过C作CE⊥DB于E，
则DE=BE，∠D=∠B，
∴CB²=CE²+BE²，CA²=CE²+AE²，
∴CB²-AC²=BE²-AE²=（BE+AE）（BE-AE）=（DE+AE）•AB，
∴BC²-AC²=AD•AB，
∵∠CAB=2∠B=4∠ACB，
设∠ACB=x°，则∠B=2x°，
∴∠CAB=4x°，
∵∠ACB+∠B+∠CAB=180°，
∴7x°=180°，
∴∠CAD=3x°，∠D=∠B=2x°，
∴∠ACD=7x°-5x°=2x°，
∴∠ACD=∠D，
∴AC=AD，
∴BC²-AC²=AC•AB．

点评 本题考查了三角形的三边关系，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．