Question

已知，如图(甲)，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，P不运动到M和C，以AB为直径做⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E．

(1)求四边形CDFP的周长；

(2)试探索P在线段MC上运动时，求AF·BP的值；

(3)延长DC、FP相交于点G，连结OE并延长交直线DC于H(如图乙)，是否存在点P，使△EFO∽△EHG？如果存在，试求此时的BP的长；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵四边形ABCD是正方形∴∠A＝∠B＝90°， 　　∴AF、BP都是⊙O的切线， 　　又∵PF是⊙O的切线 　　∴FE＝FA，PE＝PB 　　∴四边形CDFP的周长为： 　　AD＋DC＋CB＝2×3＝6 　　(2)连结OE，PF是⊙O的切线 　　∴OE⊥PF.在Rt△AOF和Rt△EOF中， 　　∵AO＝EO，OF＝OF 　　∴Rt△AOF≌Rt△EOF∴∠AOF＝∠EOF， 　　同理∠BOP＝∠EOP，∴∠EOF＋∠EOP＝180°＝90°，∠FOP＝90° 　　即OF⊥OP，∴AF·BP＝EF·PE＝OE2＝1 　　(3)存在．∵∠EOF＝∠AOF，∴∠EHG＝∠AOE＝2∠EOF， 　　∴当∠EFO＝∠EHG＝2∠EOF，即∠EOF＝30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG 　　此时，∠EOF＝30°，∠BOP＝∠EOP＝90°－30°＝60°∴BP＝OB·．